什么是自同态，它能在C#3.0中实现吗
本文关键字：C#3 实现 同态 什么 | 更新日期: 2023-09-27 17:47:24
我正在努力学习自同态，我已经在Inside F#博客上阅读了维基百科的文章和F#主题系列的前几篇文章。
我知道这是折叠的推广（即，将多个值的结构映射到一个值，包括将一个值列表映射到另一个列表）。我认为折叠列表和折叠树就是一个典型的例子。
这可以在C#中使用LINQ的Aggregate运算符或其他高阶方法来实现吗？
LINQ的Aggregate()仅适用于IEnumerables。变形通常是指任意数据类型的折叠模式。所以Aggregate()对IEnumerables的意义就如同FoldTree（下）对Trees（下）的意义一样；对于它们各自的数据类型，两者都是自同态。
我将本系列第4部分中的一些代码翻译成了C#。代码如下。请注意，等效的F#使用了三个小于字符（用于泛型类型参数注释），而此C#代码使用了60多个字符。这就是为什么没有人用C#编写这样的代码的原因——类型注释太多了。我展示了这段代码，以防它能帮助那些懂C#但不懂F#的人使用它。但是C#中的代码太密集了，很难理解。
给定二叉树的以下定义：
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Windows;
using System.Windows.Controls;
using System.Windows.Input;
using System.Windows.Media;
using System.Windows.Shapes;
class Tree<T> // use null for Leaf
{
public T Data { get; private set; }
public Tree<T> Left { get; private set; }
public Tree<T> Right { get; private set; }
public Tree(T data, Tree<T> left, Tree<T> rright)
{
this.Data = data;
this.Left = left;
this.Right = right;
}
public static Tree<T> Node<T>(T data, Tree<T> left, Tree<T> right)
{
return new Tree<T>(data, left, right);
}
}
可以折叠树，例如测量两棵树是否有不同的节点：
class Tree
{
public static Tree<int> Tree7 =
Node(4, Node(2, Node(1, null, null), Node(3, null, null)),
Node(6, Node(5, null, null), Node(7, null, null)));
public static R XFoldTree<A, R>(Func<A, R, R, Tree<A>, R> nodeF, Func<Tree<A>, R> leafV, Tree<A> tree)
{
return Loop(nodeF, leafV, tree, x => x);
}
public static R Loop<A, R>(Func<A, R, R, Tree<A>, R> nodeF, Func<Tree<A>, R> leafV, Tree<A> t, Func<R, R> cont)
{
if (t == null)
return cont(leafV(t));
else
return Loop(nodeF, leafV, t.Left, lacc =>
Loop(nodeF, leafV, t.Right, racc =>
cont(nodeF(t.Data, lacc, racc, t))));
}
public static R FoldTree<A, R>(Func<A, R, R, R> nodeF, R leafV, Tree<A> tree)
{
return XFoldTree((x, l, r, _) => nodeF(x, l, r), _ => leafV, tree);
}
public static Func<Tree<A>, Tree<A>> XNode<A>(A x, Tree<A> l, Tree<A> r)
{
return (Tree<A> t) => x.Equals(t.Data) && l == t.Left && r == t.Right ? t : Node(x, l, r);
}
// DiffTree: Tree<'a> * Tree<'a> -> Tree<'a * bool>
// return second tree with extra bool
// the bool signifies whether the Node "ReferenceEquals" the first tree
public static Tree<KeyValuePair<A, bool>> DiffTree<A>(Tree<A> tree, Tree<A> tree2)
{
return XFoldTree((A x, Func<Tree<A>, Tree<KeyValuePair<A, bool>>> l, Func<Tree<A>, Tree<KeyValuePair<A, bool>>> r, Tree<A> t) => (Tree<A> t2) =>
Node(new KeyValuePair<A, bool>(t2.Data, object.ReferenceEquals(t, t2)),
l(t2.Left), r(t2.Right)),
x => y => null, tree)(tree2);
}
}
在第二个例子中，另一棵树以不同的方式重建：
class Example
{
// original version recreates entire tree, yuck
public static Tree<int> Change5to0(Tree<int> tree)
{
return Tree.FoldTree((int x, Tree<int> l, Tree<int> r) => Tree.Node(x == 5 ? 0 : x, l, r), null, tree);
}
// here it is with XFold - same as original, only with Xs
public static Tree<int> XChange5to0(Tree<int> tree)
{
return Tree.XFoldTree((int x, Tree<int> l, Tree<int> r, Tree<int> orig) =>
Tree.XNode(x == 5 ? 0 : x, l, r)(orig), _ => null, tree);
}
}
在第三个例子中，折叠一棵树用于绘制：
class MyWPFWindow : Window
{
void Draw(Canvas canvas, Tree<KeyValuePair<int, bool>> tree)
{
// assumes canvas is normalized to 1.0 x 1.0
Tree.FoldTree((KeyValuePair<int, bool> kvp, Func<Transform, Transform> l, Func<Transform, Transform> r) => trans =>
{
// current node in top half, centered left-to-right
var tb = new TextBox();
tb.Width = 100.0;
tb.Height = 100.0;
tb.FontSize = 70.0;
// the tree is a "diff tree" where the bool represents
// "ReferenceEquals" differences, so color diffs Red
tb.Foreground = (kvp.Value ? Brushes.Black : Brushes.Red);
tb.HorizontalContentAlignment = HorizontalAlignment.Center;
tb.VerticalContentAlignment = VerticalAlignment.Center;
tb.RenderTransform = AddT(trans, TranslateT(0.25, 0.0, ScaleT(0.005, 0.005, new TransformGroup())));
tb.Text = kvp.Key.ToString();
canvas.Children.Add(tb);
// left child in bottom-left quadrant
l(AddT(trans, TranslateT(0.0, 0.5, ScaleT(0.5, 0.5, new TransformGroup()))));
// right child in bottom-right quadrant
r(AddT(trans, TranslateT(0.5, 0.5, ScaleT(0.5, 0.5, new TransformGroup()))));
return null;
}, _ => null, tree)(new TransformGroup());
}
public MyWPFWindow(Tree<KeyValuePair<int, bool>> tree)
{
var canvas = new Canvas();
canvas.Width=1.0;
canvas.Height=1.0;
canvas.Background = Brushes.Blue;
canvas.LayoutTransform=new ScaleTransform(200.0, 200.0);
Draw(canvas, tree);
this.Content = canvas;
this.Title = "MyWPFWindow";
this.SizeToContent = SizeToContent.WidthAndHeight;
}
TransformGroup AddT(Transform t, TransformGroup tg) { tg.Children.Add(t); return tg; }
TransformGroup ScaleT(double x, double y, TransformGroup tg) { tg.Children.Add(new ScaleTransform(x,y)); return tg; }
TransformGroup TranslateT(double x, double y, TransformGroup tg) { tg.Children.Add(new TranslateTransform(x,y)); return tg; }
[STAThread]
static void Main(string[] args)
{
var app = new Application();
//app.Run(new MyWPFWindow(Tree.DiffTree(Tree.Tree7,Example.Change5to0(Tree.Tree7))));
app.Run(new MyWPFWindow(Tree.DiffTree(Tree.Tree7, Example.XChange5to0(Tree.Tree7))));
}
}
我一直在做更多的阅读，包括一篇Micorosoft Research关于带变形的函数编程（"香蕉"）的论文，似乎变形只是指任何接受列表并通常将其分解为单个值（IEnumerable<A> => B）的函数，如Max()、Min()，在一般情况下，还有Aggregate()，对于列表来说都是一个自同态。
我之前的印象是，它引用了一种创建函数的方法，该函数可以概括不同的折叠，这样它就可以折叠树和列表。实际上可能还有这样的东西，某种函子或箭头，但现在这超出了我的理解范围。
Brian在第一段中的回答是正确的。但他的代码示例并没有真正反映出如何用C#风格解决类似的问题。考虑一个简单的类node:
class Node {
public Node Left;
public Node Right;
public int value;
public Node(int v = 0, Node left = null, Node right = null) {
value = v;
Left = left;
Right = right;
}
}
有了这个，我们可以创建一个主要的树：
var Tree =
new Node(4,
new Node(2,
new Node(1),
new Node(3)
),
new Node(6,
new Node(5),
new Node(7)
)
);
我们在Node的命名空间中定义了一个通用的折叠函数：
public static R fold<R>(
Func<int, R, R, R> combine,
R leaf_value,
Node tree) {
if (tree == null) return leaf_value;
return
combine(
tree.value,
fold(combine, leaf_value, tree.Left),
fold(combine, leaf_value, tree.Right)
);
}
对于双态射，我们应该指定数据的状态，节点可以为null，也可以有子节点。通用参数决定了我们在任何一种情况下都要做什么。请注意，迭代策略（在本例中为递归）隐藏在fold函数中。
现在不写：
public static int Sum_Tree(Node tree){
if (tree == null) return 0;
var accumulated = tree.value;
accumulated += Sum_Tree(tree.Left);
accumulated += Sum_Tree(tree.Right);
return accumulated;
}
我们可以写
public static int sum_tree_fold(Node tree) {
return Node.fold(
(x, l, r) => x + l + r,
0,
tree
);
}
优雅、简单、可检查类型、可维护等。易于使用Console.WriteLine(Node.Sum_Tree(Tree));。
添加新功能很容易：
public static List<int> In_Order_fold(Node tree) {
return Node.fold(
(x, l, r) => {
var tree_list = new List<int>();
tree_list.Add(x);
tree_list.InsertRange(0, l);
tree_list.AddRange(r);
return tree_list;
},
new List<int>(),
tree
);
}
public static int Height_fold(Node tree) {
return Node.fold(
(x, l, r) => 1 + Math.Max(l, r),
0,
tree
);
}
F#在In_Order_fold的简洁性类别中获胜，但当该语言提供用于构建和使用列表的专用运算符时，这是意料之中的事。
C#和F#之间的巨大差异似乎是由于F#使用闭包作为隐式数据结构来触发尾调用优化。Brian回答中的例子也考虑到了F#中的优化，以避免重建树。我不确定C#是否支持尾调用优化，也许In_Order_fold可以写得更好，但在讨论C#在处理这些变形时的表现力时，这两点都不相关。
在语言之间翻译代码时，您需要理解该技术的核心思想，然后根据语言的原语来实现该思想。
也许现在你可以说服你的C#同事更认真地对待折叠了。
我知道这是一个褶皱的推广（即映射多值对一的结构值，包括要另一个列表）。
我不会说一个值。它将其映射到另一个结构中。
也许一个例子可以说明问题。让我们说一个列表的总和。
foldr（''x->''y->x+y）0[1，2，3，4，5]
现在这个数字将减少到15。但实际上，它可以被视为映射到纯粹的句法结构1+2+3+4+5+0。只是编程语言（在上面的例子中，haskell）知道如何将上面的语法结构减少到15。
基本上，自同态用另一个数据构造函数替换一个数据构造器。在上述列表的情况下，
[1,2,3,4,5]=1:2:3:4:5:[]（：是cons运算符，[]是nil元素）上面的自同态将：替换为+，将[]替换为0。
它可以推广到任何递归数据类型。
Brian在他的博客中发表了一系列精彩的帖子。此外，Channel9有一个不错的视频。.Agregate（）没有LINQ语法糖，所以它是否有LINQ Aggregate方法的定义重要吗？这个想法当然是一样的。折叠在树上。。。首先我们需要一个节点。。。也许可以使用Tuple，但这更清楚：
public class Node<TData, TLeft, TRight>
{
public TLeft Left { get; private set; }
public TRight Right { get; private set; }
public TData Data { get; private set; }
public Node(TData x, TLeft l, TRight r){ Data = x; Left = l; Right = r; }
}
然后，在C#中，我们可以生成递归类型，即使这是不寻常的：
public class Tree<T> : Node</* data: */ T, /* left: */ Tree<T>, /* right: */ Tree<T>>
{
// Normal node:
public Tree(T data, Tree<T> left, Tree<T> right): base(data, left, right){}
// No children:
public Tree(T data) : base(data, null, null) { }
}
现在，我将引用Brian的一些代码，并稍作LINQ风格的修改：
- 在C#中，折叠称为聚合
- LINQ方法是将项作为第一个参数并使用"this"-关键字的Extension方法
- 循环可以是私有的
public static class TreeExtensions
{
private static R Loop<A, R>(Func<A, R, R, Tree<A>, R> nodeF, Func<Tree<A>, R> leafV, Tree<A> t, Func<R, R> cont)
{
if (t == null) return cont(leafV(t));
return Loop(nodeF, leafV, t.Left, lacc =>
Loop(nodeF, leafV, t.Right, racc =>
cont(nodeF(t.Data, lacc, racc, t))));
}
public static R XAggregateTree<A, R>(this Tree<A> tree, Func<A, R, R, Tree<A>, R> nodeF, Func<Tree<A>, R> leafV)
{
return Loop(nodeF, leafV, tree, x => x);
}
public static R Aggregate<A, R>(this Tree<A> tree, Func<A, R, R, R> nodeF, R leafV)
{
return tree.XAggregateTree((x, l, r, _) => nodeF(x, l, r), _ => leafV);
}
}
现在，用法相当于C#风格：
[TestMethod] // or Console Application:
static void Main(string[] args)
{
// This is our tree:
// 4
// 2 6
// 1 3 5 7
var tree7 = new Tree<int>(4, new Tree<int>(2, new Tree<int>(1), new Tree<int>(3)),
new Tree<int>(6, new Tree<int>(5), new Tree<int>(7)));
var sumTree = tree7.Aggregate((x, l, r) => x + l + r, 0);
Console.WriteLine(sumTree); // 28
Console.ReadLine();
var inOrder = tree7.Aggregate((x, l, r) =>
{
var tmp = new List<int>(l) {x};
tmp.AddRange(r);
return tmp;
}, new List<int>());
inOrder.ForEach(Console.WriteLine); // 1 2 3 4 5 6 7
Console.ReadLine();
var heightTree = tree7.Aggregate((_, l, r) => 1 + (l>r?l:r), 0);
Console.WriteLine(heightTree); // 3
Console.ReadLine();
}
我仍然更喜欢F#。