从另一个异步例程调用异步例程

我认为这是做这种事情的正确方法，但我找不到用这么多词说明这一点的清晰文档。

我有相关的例程，其中例程 A 对其输入进行一些处理，然后委托给例程 B 来完成实际工作。 例如，假设我可以基于整数索引或某个值的字符串键做一些工作。 我可能有两个例程重载，一个获取索引，另一个获取键：

// Do the work based on the int index
public bool RoutineA(int index)
{
    // Find the key
    string key = {some function of index};
    // Let the other overload do the actual work
    return RoutineB(key)
}
// Do the work based on the string key
public bool RoutineB(string key)
{
    bool result = {some function of key};
    return result;
}

现在，假设 RoutineB 想要异步，所以它变成了：

// Do the work based on the string key
public async Task<bool> RoutineB(string key)
{
    bool result = await {some function of key};
    return result;
}

所以。。。我的问题是，假设 RoutineA 在调用 RoutineB 之前没有自己的异步处理，我可以这样编码吗？ 请注意，我没有将例程标记为async（并且我不await对 RoutineB 的调用），从而节省了在调用状态机时构建状态机的开销。

// Do the work based on the int index
public Task<bool> RoutineA(int index)
{
    // Find the key
    string key = {some function of index};
    // Let the other overload do the actual work
    return RoutineB(key)
}