如果在使用高值而不是低值范围进行计算，浮点是否具有更高的精度

本文关键字：是否 计算 精度 高值 范围 如果 | 更新日期: 2024-10-20 04:45:42

浮点值的范围越大，乘/除/加/减的精度会比范围越低吗。

例如，567.56 / 345.54会比.00097854 / .00021297更准确吗？

如果在使用高值而不是低值范围进行计算，浮点是否具有更高的精度

问题的答案是"否"。浮点数（通常为*）用标准化尾数和指数表示。乘法和除法首先对归一化尾数进行运算，然后对指数进行运算。

当然，加法和减法是另一回事。像你的例子一样的操作：

 567.56 + 345.54 or .00097854 - .00021297

工作良好。但像这样具有不同数量级的操作

 567.56 + .00097854    or  345.54  - .00021297

可能会失去一些低阶精度。

  • IEEE浮点标准包括非规范化数字。如果你是一名天体物理学家或运行库开发人员，你可能需要了解他们。看见http://en.wikipedia.org/wiki/Denormal_number

对于IEEE 754二进制浮点数（最常见的），浮点值在大部分指数范围内的有效位数相同。然而，有一部分范围的有效位实际上更少。四舍五入引起的相对误差会随着有效位在其范围内的位置而变化。

IEEE 754浮点数由一个符号（+1或-1，编码为0或1）、一个指数（对于双精度，-1022到1023，编码为指数加1023，因此1到2046）和一个有效位（对于双精确度，一个通常从1到略低于2的分数，用53位表示，但用52位编码，因为第一位隐含为1）表示。

例如，数字6.5由位0（符号+1）、10000000001（指数2）和101000000000000000000000000000000000（二进制分数1.1010，十六进制1.a，十进制1.3125）编码。我们可以用十六进制浮点形式将其写为0x1.ap2（十六进制分数1.a乘以2的十进制2的幂）。用十六进制浮点进行编写使人类能够很容易地看到浮点表示。

对于指数，0和2047的编码值是特殊的。当编码为0时，指数与编码为1（-1022）时相同，但分数的隐式位是0而不是1。当编码为2047时，浮点对象表示无穷大（如果有效位均为零）或NaN（否则）。

当编码指数为0且有效位均为零时，该数字表示零（通过符号区分+0和-0）。如果有效位不全为零，则称该数字为非规范化。这是因为大多数数字都是通过调整指数来"归一化"的，使分数介于1（包括1）和2（不包括2）之间。对于非规范化数，分数小于1；它以"0."而不是"1."开头。

当浮点运算的结果是一个非规范化的数字时，它的有效位实际上更少。因此，当数字下降到0x1p-1022（2-1022）以下时，有效精度降低。

当数字在正常范围内（不下溢到非标准值，也不溢出到无穷大），则具有不同指数的数字的有效位没有差异，因此：

  • （2a+2b）/2具有与a+b完全相同的结果
  • （2a-2b）/2具有与a-b完全相同的结果
  • （2ab）/2具有与ab完全相同的结果

但是，请注意，相对误差可能会发生变化。执行浮点运算时，必须将精确的数学结果四舍五入到可表示的值。这种舍入只能以有效位表示的单位进行。对于给定的指数，有效位中的位具有固定值。因此，有效位中的最后一位表示某个值。该值是靠近1的有效位的较大部分，而不是靠近2的有效位。

对于双精度结果，最小精度单位（ULP）是有效位中最大位值的252的1部分。当使用四舍五入到最近模式（最常见的默认值）时，最大的误差最多是其一半，因为如果一个方向上的可表示数字距离超过半个ULP，那么另一个方向的数字距离不到半个ULP。更接近的数字由正确的浮点运算返回。

因此，有效位在1附近的结果中的最大相对误差略高于2-53，但有效位在2附近的结果的最大相对错误略低于2-54。

为了完整性，我不得不有点不同意，并说是，这可能很重要
事实上，如果您执行56756.0/34554.0，那么您将获得与精确数学结果最接近的可表示浮点值，并带有一个浮点舍入"误差"
这是因为56756.0和34554.0可以精确地用浮点表示（单精度或双精度IEEE 754），并且因为根据IEEE 754标准，运算执行精确的舍入运算（在默认模式下最接近）

如果您写入567.56/345.54，那么这两个数字都不是以基数2的浮点精确表示的，因此此操作的结果是累积3个浮点舍入"错误"

让我们以双精度（浮点）比较Squeak Smalltalk中的结果，转换为精确算术（分子和分母处具有任意整数长度的分数）：

((56756.0 / 34554.0) asFraction - (56756 / 34554)) asFloat.
-> -7.932275867322412e-17

到目前为止，很好，误差幅度小于或等于半个ulp，正如IEEE 754:所承诺的那样

(56756 / 34554) asFloat ulp / 2
-> 1.1102230246251565e-16

对于累积的舍入误差，你可能会得到更大的误差（但永远不会更小）：

((567.56 / 345.54) asFraction - (56756 / 34554)) asFloat
-> -3.0136736359825544e-16
((0.00056756 / 0.00034554) asFraction - (56756 / 34554)) asFloat
-> 3.647664511768385e-16

上面的例子很难概括，我完全同意其他答案：一般来说，NO，你应该只关心相对精度
…除非你想实现一些对舍入误差有严格容忍度的函数。。。

编号。从某种意义上说，无论数字的数量级（指数部分）是多少，都有相同数量的有效数字可用。

相关文章：