如何确定4个点是否在同一平面上

本文关键字：平面 是否 何确定 4个 | 更新日期: 2023-09-27 18:03:51

我从Kinect输出的图像中选择4个点，因此每个点都有其(x, y, z)坐标。

我的目标是确定这4个点是否落在同一平面上。

这是我的功能

    public bool isValidPlane()
    {
        for (int i = 0; i < edgesPoints.Length; i++)
        {
            double absPlaneEquation = Math.Abs(distance -
                (normal.X * edgesPoints[i].X + normal.Y * edgesPoints[i].Y + normal.Z * edgesPoints[i].Z));
            if (absPlaneEquation > 1500) /* 1500 is a tolerance error*/
            {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

normal也是平面上的法向量(平面上的两个向量的叉积，之前从所选的4个点中的3个计算)，并且它是归一化的:

    private void calcPlaneNormalVector()
    {
        if (lastEdgeNumber < 3)
        {
            return;
        }
        Vector3D vec1 = new Vector3D(edgesPoints[0], edgesPoints[1]);
        Vector3D vec2 = new Vector3D(edgesPoints[0], edgesPoints[2]);
        vec2 = vec1.crossProduct(vec2);
        double lengthNormal = Math.Sqrt(Math.Pow(vec2.X, 2) + Math.Pow(vec2.Y, 2) + Math.Pow(vec2.Z, 2));
//normalizing:
        normal = new Vector3D((vec2.X / lengthNormal), (vec2.Y / lengthNormal), (vec2.Z / lengthNormal));
        distance = (-1) * (edgesPoints[0].X * normal.X + edgesPoints[0].Y * normal.Y + edgesPoints[0].Z + normal.Z);
    }

Vector3D是一个表示向量的类:

public  class Vector3D
{
    private double x, y, z;
    public Vector3D(Point3D p1, Point3D p2)
    {
        x = p2.X - p1.X;
        y = p2.Y - p1.Y;
        z = p2.Z - p1.Z;
    }
    public Vector3D(double a = 0, double b = 0, double c = 0)
    {
        x = a;
        y = b;
        z = c;
    }
    <get properties for x, y, z >
    public Vector3D crossProduct(Vector3D u)
    {
        double tmpX = 0, tmpY = 0, tmpZ = 0;
        tmpX = y * u.Z - z * u.Y;
        tmpY = z * u.X - x * u.Z;
        tmpZ = x * u.Y - y * u.X;
        return new Vector3D(tmpX, tmpY, tmpZ);
    }
    public double dotProduct(Vector3D u)
    {
        return x * u.X + y * u.Y + z * u.Z;
    }
}

我总是得到1300 <= absPlaneEquation <= 1400，即使选择了4个点，使它们不在同一平面上。

检测这4个点指向同一平面的最佳方法是什么?

如何确定4个点是否在同一平面上

一旦你有了一个平面的法向量，你就可以计算这个平面的方程:

normal vector components : [A, B, C]
Plane equation           : A·x + B·y + C·z + D = 0;

使用用于获得法向量的三个点(P1, P2或P3)中的一个来评估D，然后简单地检查第四个点(P4)是否满足方程:

 D = - (A·x1 + B·y1 + C·z1)
 A·x4 + B·y4 + C·z4 - (A·x1 + B·y1 + C·z1) = 0
重要的是要注意，您正在使用浮点运算，因此您不能测试严格相等。您需要定义一个可接受的误差，并根据这样的公差检查第四个点是否符合等式: 
 |A·x4 + B·y4 + C·z4 - (A·x1 + B·y1 + C·z1)| < TOLERANCE

更新:这是我如何编码解决你的问题:

public struct Point3D
{
    public double X { get; }
    public double Y { get; }
    public double Z { get; }
    public Point3D(double x, double y, double z)
    {
        X = x;
        Y = y;
        Z = z;
    }
}
public struct Vector3D
{
    public double X { get; }
    public double Y { get; }
    public double Z { get; }
    public double Magnitude => Math.Sqrt(X * X + Y * Y + Z * Z);
    public Vector3D(Point3D p1, Point3D p2)
        : this(p2.X - p1.X, p2.Y - p1.Y, p2.Z - p1.Z)
    {
    }
    public Vector3D(double x, double y, double z)
    {
        X = x;
        Y = y;
        Z = z;
    }
    public static Vector3D CrossProduct(Vector3D left, Vector3D right)
    {
        double tmpX = 0, tmpY = 0, tmpZ = 0;
        tmpX = left.Y * right.Z - left.Z * right.Y;
        tmpY = left.Z * right.X - left.X * right.Z;
        tmpZ = left.X * right.Y - left.Y * right.X;
        return new Vector3D(tmpX, tmpY, tmpZ);
    }
    public static double DotProduct(Vector3D left, Vector3D right)
    {
        return left.X * right.X + left.Y * right.Y + left.Z * right.Z;
    }
}
public struct Plane3D
{
    private const double TOLERANCE = 0.001;
    private readonly double independentTerm;
    public Vector3D Normal { get; }
    public Plane3D(Point3D p1, Point3D p2, Point3D p3)
    {
        Normal = Vector3D.crossProduct(new Vector3D(p1, p2), new Vector3D(p1, p3));
        if (Normal.Magnitude < TOLERANCE)
            throw new ArgumentException("Specified points do not define a valid plane.");
        independentTerm = -(Normal.X * p1.X + Normal.Y * p1.Y + Normal.Z * p1.Z);
    }
    public bool Contains(Point3D p) => Math.Abs(Normal.X * p.X + Normal.Y * p.Y + Normal.Z * p.Z + independentTerm) < TOLERANCE;
}

注意事项:

  1. 我已经改变Point3D和Vector3D结构。这在很大程度上取决于您将如何使用对象，但是，乍一看，值类型似乎更适合。
  2. 我已经使值类型不可变。可变值类型不是一个好主意;同样，如果您将它们实现为类，这不会是一个问题，尽管我仍然建议尽可能创建不可变类型。在这种情况下，这样做是非常便宜的。
  3. 你有平面的概念，那么，创建一个类型来表示它。
  4. 我已经将矢量操作符更改为static方法。这可能取决于个人品味。
  5. 我已经在Plane中实现了TOLERANCE const。可能有更好的地方来定义它，只是为了方便。
  6. 我稍微推了你的名字;公众成员必须以大写字母开头。
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